pq-Formel üben: Nullstellen und Diskriminante online

Primfaktorzerlegung für das Vereinfachen von Wurzeln

Bruchrechnen vertiefen

Erklärung zur pq-Formel auf lernsnacks.net

Wie kann ich die pq-Formel üben lassen, ohne dass nur das Ergebnis abgeschrieben wird?

Wer die pq-Formel üben will, braucht viele verschiedene Gleichungen und sofort eine Rückmeldung, an welcher Stelle der Fehler steckt. Der Trainer zerlegt die Aufgabe deshalb in die Schritte, die auch im Heft stehen sollen: p und q ablesen, die Diskriminante D berechnen, entscheiden, wie viele Lösungen es gibt, und schließlich x₁ und x₂ ausrechnen. Jeder Schritt wird einzeln geprüft. Wer sich verrechnet, bekommt keinen bloßen roten Haken, sondern einen Hinweis zur Ursache, etwa dass p nicht halbiert oder das Vorzeichen vertauscht wurde. Am Ende steht eine Probe mit den eingesetzten Lösungen. Die Reihenfolge von x₁ und x₂ ist egal.

Wie zeige ich der Klasse am Beamer, was die Diskriminante über die Lösungen verrät?

Mit der Option „Vorführen“ blendet der Trainer die Eingabefelder aus und zeigt zu jedem Schritt nur noch die Frage und den Button „Lösung zeigen“. Die Klasse rechnet im Heft mit, und die Lehrkraft klickt weiter. Für den Zusammenhang zwischen D und der Zahl der Nullstellen gibt es den Reiter „Entdecken“: Zwei Schieberegler für p und q verändern die Parabel, darunter steht, ob D positiv, null oder negativ ist, und die Nullstellen erscheinen als Punkte auf der x-Achse. So sieht man, warum die Parabel bei D < 0 die Achse nicht erreicht und bei D = 0 nur berührt. Eine ausführliche Erklärung der Formel steht in der Erklärung zur pq-Formel auf lernsnacks.net.

Was passiert, wenn die Gleichung nicht in Normalform dasteht?

Das ist im Unterricht die häufigste Stolperstelle, deshalb gibt es dafür eine eigene Stufe. In „Umformen“ steht die Gleichung zum Beispiel als x² = 6x − 5, als x² + 6x = −5 oder als x² + 5 = 6x da, und die Lernenden bringen sie auf die Form x² + px + q = 0, bevor sie p und q ablesen. In „Mit a vor dem x²“ muss zuerst durch a geteilt werden. Der Trainer fragt nach dieser Zahl und zeigt in der Auflösung die geteilte Gleichung.

Wie gehen die Lernenden mit Wurzeln in der Lösung um?

In Stufe 6 ist D keine Quadratzahl, die Wurzel bleibt stehen. Die Lernenden tragen die Lösung in der Form x = u ± √d ein, geben also die Zahlen u und d an, und runden anschließend beide Lösungen auf zwei Nachkommastellen. Die Wurzel lässt sich dabei nicht weiter vereinfachen, weil d keinen Quadratfaktor enthält. Brüche, Potenzen und Wurzeln werden mit KaTeX gesetzt und sehen aus wie im Schulbuch. Lädt KaTeX einmal nicht, erscheint dieselbe Rechnung als gut lesbarer Klartext.

Wie differenziere ich, und was ist, wenn jemand lieber nicht tippt?

Sieben Stufen stehen zur Wahl: Normalform, Umformen, Mit a vor dem x², Sonderfälle (etwa q = 0, ein fehlendes p oder keine Lösung), Halbe Zahlen, Wurzeln und Gemischt. Die Lösungen sind in den ersten Stufen ganze Zahlen, in Stufe 5 auch halbe Zahlen wie 2,5. Für die Eingabe gibt es drei Wege: eine eingeblendete Minitastatur für Tablets und Handys, die normale Tastatur oder Karten, die in die Lösungsfelder gezogen oder angetippt werden. Die Karten lassen sich auf dem Touchscreen mit dem Finger genauso ziehen wie mit der Maus.

Kann ich Gleichungen aus dem Schulbuch eingeben?

Ja. Unter „Eigene Gleichung eingeben“ lassen sich a, b und c vorgeben. Der Trainer baut daraus die Aufgabe mit allen Schritten auf, praktisch für Buchaufgaben oder Klassenarbeitszahlen. Angenommen werden Gleichungen mit ganzen oder halben Zahlen als Lösung oder mit einer Wurzel aus einer ganzen Zahl ohne Quadratfaktor. Bei allen anderen sagt der Trainer, woran es liegt.

Einsatzideen und Best Practice

Bewährt hat sich ein Dreischritt im Unterricht: Erst am Beamer im Modus „Vorführen“ eine Gleichung gemeinsam durchgehen, danach arbeiten alle in Stufe 1 oder 2 am eigenen Gerät, und die Schnelleren wechseln auf Sonderfälle oder Wurzeln. Der Reiter „Entdecken“ eignet sich zum Einstieg in das Thema Diskriminante, noch bevor die Formel eingeführt ist. Für Hausaufgaben oder Vertretungsstunden reicht der Link zum Tool. Unten zählt eine kleine Anzeige die Aufgaben, die ohne Fehler gelöst wurden, und die aktuelle Serie. Bei Wurzeln hilft das Wissen aus der Primfaktorzerlegung für das Vereinfachen von Wurzeln, und Brüche als Lösungen lassen sich mit dem Bruch-Werkzeug wiederholen.

Werden Ergebnisse meiner Schülerinnen und Schüler gespeichert?

Nein. Der Trainer läuft vollständig im Browser. Es werden keine Namen abgefragt, nichts wird an einen Server übertragen und auch nicht im Browser abgelegt. Die Anzeige der gelösten Aufgaben existiert nur, solange die Seite geöffnet ist. Wie alle Tools auf klassenkram.de ist er kostenlos, werbefrei und ohne Registrierung nutzbar.

Anleitung

1. Stufe wählen und die Eingabeart festlegen: Minitastatur, Tastatur oder Karten.
2. Die Gleichung oben im Kasten ist die Aufgabe. Bei Stufe 2 und 3 zuerst Normalform herstellen.
3. Schritt für Schritt die Felder ausfüllen: p und q, dann D. Mit „Prüfen“ oder der Enter-Taste bestätigen.
4. Bei „Anzahl der Lösungen“ den passenden Button wählen: keine, genau eine oder zwei Lösungen.
5. x₁ und x₂ eintragen. Die Reihenfolge ist egal. Bei Wurzeln u und d angeben und danach runden.
6. Nach zwei Fehlversuchen erscheint „Schritt zeigen“. Am Ende zeigt die Probe, dass die Lösungen stimmen.
7. Mit „Neue Aufgabe“ weiter üben, über „Eigene Gleichung eingeben“ eine eigene Aufgabe stellen oder im Reiter „Entdecken“ p und q mit den Reglern verändern.
8. Für den Beamer „Vorführen“ aktivieren.