Geometrische Körper berechnen: Volumen und Oberfläche in 3D

Lernsnacks: Eigenschaften, Volumen und Oberfläche geometrischer Körper

Lernsnacks: Schrägbilder zeichnen

Spezialpapier-Generator

Wie zeige ich meiner Klasse einen Körper in 3D, statt ihn schief an die Tafel zu zeichnen?

Mit der Körper-Konstruktion lassen sich geometrische Körper berechnen und gleichzeitig als 3D-Bild ansehen. Man wählt einen von acht Körpern, stellt die Maße ein, und der Körper steht sofort auf dem Bildschirm. Mit Maus oder Finger dreht man ihn in jede Richtung. An der Tafel wird die Ellipse eiernd, die verdeckten Kanten fehlen, und das Zeichnen frisst Unterrichtszeit. Hier steht die Ansicht in Sekunden, und die Klasse entscheidet selbst, von welcher Seite sie draufschaut.

Wie kontrolliere ich Volumen und Oberfläche, die meine Schülerinnen und Schüler gerechnet haben?

Neben dem Körper stehen die Ergebnisse: Volumen, Oberfläche, Mantelfläche und Grundfläche, je nach Körper dazu der Umfang der Grundfläche, die gesamte Kantenlänge, die Raumdiagonale, die Seitenhöhe oder die Mantellinie. Kommt jemand beim Zylinder mit r = 3 cm und h = 5 cm auf 94,25 cm² statt auf 150,80 cm², hat er die beiden Kreise vergessen und nur den Mantel gerechnet.

Welche Körper kann ich einstellen, und welche Größen bekomme ich?

Zur Auswahl stehen Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel, Kegelstumpf und Kugel. Bei Prisma und Pyramide ist die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck mit drei bis zwölf Ecken. Die Maße stellt man mit Reglern oder in Zahlenfeldern ein. Die Einheit (mm, cm, dm oder m) ändert nur die Beschriftung, die Zahlen werden nicht umgerechnet. Angezeigt werden null bis drei Nachkommastellen, in deutscher Schreibweise mit Dezimalkomma.

Wie zeige ich den Rechenweg, ohne ihn an die Tafel zu schreiben?

Unter jedem Ergebnis steht auf Wunsch die Formel mit den eingesetzten Zahlen, etwa V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 beim Zylinder. So lässt sich ein Ergebnis mit dem eigenen Heft vergleichen. Eine Besonderheit: Zwischenwerte werden gerundet angezeigt, gerechnet wird mit den exakten Werten. Wer von Hand mit gerundeten Zahlen rechnet, kann in der letzten Stelle abweichen.

Wie lassen meine Schülerinnen und Schüler selbst rechnen?

Über „Selbst rechnen“ wechselt das Tool vom Ablesen zum Üben. Man wählt die gesuchte Größe, der Körper bleibt daneben sichtbar. Dann geht es in Teilschritten voran: Bei der Pyramide ist erst die Seitenhöhe fällig, dann die Grundfläche, dann der Mantel, zuletzt die Oberfläche. Die Zahl tippt man mit einer Minitastatur ein, am Rechner auch mit der Tastatur. Tipps zeigen Formel und eingesetzte Zahlen, „Lösung zeigen“ hilft, wenn es hängt. Bei einer falschen Eingabe sagt das Tool, woran es liegen könnte: Wer beim Zylinder nur die Mantelfläche statt der Oberfläche liefert, bekommt genau diesen Hinweis, ebenso bei vergessenem π oder verwechseltem Durchmesser. Als richtig zählt ein Wert, der höchstens eine Einheit der letzten angezeigten Stelle abweicht. Wer mit π ≈ 3,14 rechnen darf, schaltet „Großzügig prüfen“ ein. Die Aufgabe nutzt die eingestellten Maße, mit den Reglern entsteht also eine neue.

Wie erkläre ich Grundfläche, Mantelfläche und verdeckte Kanten?

Mit der Option „Farben“ erscheinen Grund- und Deckfläche in Amber und der Mantel in Blau. Die Flächen sind halbtransparent, deshalb scheinen die verdeckten Kanten gestrichelt durch, so wie es im Heft gezeichnet werden soll. Das „Kantenmodell“ blendet die Flächen fast ganz aus. Die Option „Maße“ blendet Kantenlänge, Höhe und Radius direkt am Körper ein, bei der Pyramide auch die Seitenhöhe, beim Kegel die Mantellinie. Das Tool zeigt eine Perspektivansicht und kein Schrägbild. Wie man ein Schrägbild selbst konstruiert, mit Grundfläche, Höhe unter 45 Grad und Ellipse bei Zylinder und Kugel, erklärt der Lernsnacks-Artikel Schrägbilder zeichnen.

Wie bekomme ich ein Bild für Arbeitsblatt oder Klassenarbeit?

„Als Bild speichern“ legt die aktuelle Ansicht als PNG ab, so wie sie auf dem Bildschirm steht. Soll die Aufgabe die Maße nicht verraten, schaltet man „Maße“ aus, speichert das Bild und schreibt die Werte im Arbeitsblatt selbst dazu.

Einsatzideen und Best Practice

Zum Einstieg lohnt es sich, den Körper erst am Beamer zu drehen, bevor ein Begriff fällt: Die Klasse zählt und benennt Ecken, Kanten und Flächen selbst. Die Begriffe und die Formeln mit durchgerechneten Beispielen stehen im Lernsnacks-Artikel Eigenschaften, Volumen und Oberfläche geometrischer Körper, der sich gut als Nachlesetext eignet. Sehr wirkungsvoll ist das Verändern einzelner Maße: Verdoppelt man beim Würfel die Kantenlänge von 4 auf 8 cm, steigt das Volumen von 64 auf 512 cm³, die Oberfläche aber nur von 96 auf 384 cm². Das bleibt hängen, wenn die Klasse vorher schätzen durfte. In Partnerarbeit stellt eine Person einen Körper ein, die andere rechnet im Modus „Selbst rechnen“. Für das Schrägbild von Hand passt das Karopapier aus dem Spezialpapier-Generator.

Werden meine Eingaben irgendwo gespeichert?

Nein. Das Tool läuft vollständig im Browser, Maße und Einstellungen bestehen nur im Arbeitsspeicher der geöffneten Seite und sind nach dem Neuladen wieder weg. Es wird nichts an einen Server übertragen, und personenbezogene Daten werden nicht abgefragt. Die Nutzung ist kostenlos, werbefrei und ohne Anmeldung möglich.

Anleitung

1. Körper wählen: Oben rechts auf einen der acht Körper tippen.
2. Maße einstellen: Regler ziehen oder Zahl eintippen. Darunter Einheit und Nachkommastellen wählen.
3. Körper drehen: Auf dem Bild ziehen, alternativ mit den Pfeiltasten. „Drehen“ lässt ihn von selbst rotieren.
4. Darstellung wählen: „Maße“, „Kantenmodell“ und „Farben“ lassen sich einzeln ein- und ausschalten.
5. Ergebnisse ablesen: Volumen, Oberfläche und weitere Größen stehen rechts. „Rechenweg anzeigen“ blendet Formel und eingesetzte Zahlen ein oder aus. Alternativ auf „Selbst rechnen“ wechseln, Zielgröße wählen und die Schritte mit der Minitastatur lösen.
6. Bild sichern: „Als Bild speichern“ lädt die aktuelle Ansicht als PNG herunter.