Ableitungen üben: Extrempunkte, Wendepunkte, Stammfunktion

pq-Formel üben

Bruchrechnen vertiefen

Wie kann ich das Ableiten üben lassen, ohne dass nur Ergebnisse abgeschrieben werden?

Wer Ableitungen üben lässt, braucht viele verschiedene Funktionen und eine Rückmeldung, an welcher Stelle gerechnet wurde. Der Ableitungs-Trainer arbeitet mit ganzrationalen Funktionen dritten und vierten Grades und zerlegt die Aufgabe in die Schritte, die auch im Heft stehen sollen: erste, zweite und dritte Ableitung, Nullstellen der Ableitung, Art des Extrempunkts, y-Werte, Wendepunkte und Stammfunktion. Jeder Schritt wird einzeln geprüft. Gerechnet wird exakt mit Brüchen, und bei einer falschen Eingabe erscheint ein Hinweis zur Ursache statt eines bloßen roten Hakens.

Wie zeige ich der Klasse, was die Ableitung mit dem Graphen zu tun hat?

Im Reiter „Erklären“ steht der Graph von f immer sichtbar da. Ein Schieberegler legt eine Tangente an die Kurve und zeigt ein Steigungsdreieck, dazu den Wert von f′ an dieser Stelle. Über einem Hochpunkt liegt die Tangente waagerecht, die Steigung ist null. Ein zweites Diagramm zeigt f′, f″ oder F, farbige Bänder markieren Steigen und Fallen. Die acht Erklärschritte wechseln als Karussell mit Pfeilen, damit der Graph beim Weiterklicken im Bild bleibt.

Welche Funktionen kann ich eingeben, und was passiert bei Sonderfällen?

Man trägt die Koeffizienten a bis e für Funktionen bis zum Grad 4 ein oder wählt eines der zehn Beispiele. Darunter sind die Fälle, an denen Lernende erfahrungsgemäß hängen bleiben: der Sattelpunkt, bei dem f″ ebenfalls null ist, eine Funktion ohne jeden Extrempunkt, die punkt- und die achsensymmetrische Funktion und f(x) = x⁴, bei der f″(0) = 0 gilt und der Tiefpunkt trotzdem über den Vorzeichenwechsel von f′ nachgewiesen werden muss. Der Trainer rechnet in solchen Fällen automatisch den Vorzeichenwechsel und erklärt, warum die zweite Ableitung hier nicht reicht. Lassen sich die Lösungen nicht exakt schreiben, zeigt „Erklären“ Näherungswerte und sagt, dass es welche sind. Geübt wird nur mit glatten Lösungen.

Wie üben die Lernenden das Berechnen von Extrem- und Wendepunkten?

Im Reiter „Üben“ gibt es neun Stufen: Ableiten in Grad 3 und Grad 4, höhere Ableitungen, Stammfunktion, Extrempunkte in beiden Graden, Wendepunkte, Sonderfälle und Gemischt. Zuerst werden die Lösungen von f′(x) = 0 bestimmt, dann setzt man sie in f″ ein, benennt jeden Punkt als Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt und berechnet am Ende die y-Werte. Die Reihenfolge mehrerer Lösungen ist egal. Brüche tippt man als 1/2 oder 0,5, Formeln erscheinen wie im Schulbuch.

Es gibt außerdem einen Artikel auf lernsnacks.net zum Thema.

Wie differenziere ich, und kann ich eigene Aufgaben stellen?

Wer schneller ist, wechselt von Grad 3 auf Grad 4 oder gleich auf die Sonderfälle, wer Unterstützung braucht, bleibt bei „Ableiten, Grad 3“. Unter „Eigene Funktion üben“ gibt man selbst a bis e ein, etwa die Aufgabe aus dem Schulbuch oder der Klassenarbeit, und der Trainer baut daraus alle Schritte auf. Ist die Aufgabe zu unhandlich, etwa weil keine glatten Extremstellen herauskommen, sagt der Trainer, woran es liegt.

Wie lässt sich die Funktionsuntersuchung spielerisch trainieren?

Der Reiter „Untersuchen“ ist ein kleines Spiel. Zu einer Funktion entscheidet man zuerst, wohin der Graph für x gegen minus und gegen plus unendlich läuft, dann, welche Symmetrie vorliegt, und gibt den y-Achsenabschnitt an. Danach setzt man die Hoch-, Tief-, Sattel- und Wendepunkte direkt in den Graphen. Der Trainer zeigt, welche Punkte stimmen, welche an der falschen Stelle oder vom falschen Typ sind und welche fehlen. Für richtige Antworten gibt es Punkte, die mit jedem Fehlversuch weniger werden, dazu eine Serie und Ränge vom „Rechenlehrling“ bis zum „Analysis-Profi“. Wer es schwerer mag, verdeckt den Graphen und muss auch die Höhe der Punkte treffen.

Einsatzideen und Best Practice

Bewährt hat sich ein Dreischritt: Zuerst führt die Lehrkraft am Beamer im Reiter „Erklären“ eine Funktion gemeinsam durch, danach rechnen alle in „Üben“ am eigenen Gerät, und zum Schluss gibt es zur Wiederholung eine Runde „Untersuchen“, zum Beispiel als Wettbewerb in Zweiergruppen. Die Nullstellen der ersten Ableitung sind bei Grad 4 oft ein Fall für die pq-Formel, und bei Brüchen als Ergebnis hilft es, das Bruchrechnen zu vertiefen.

Werden Ergebnisse meiner Schülerinnen und Schüler gespeichert?

Nein. Der Trainer läuft vollständig im Browser. Es werden keine Namen abgefragt, nichts wird an einen Server gesendet und nichts im Browser abgelegt. Punkte, Serie und Rang existieren nur, solange die Seite geöffnet ist. Wie alle Tools auf klassenkram.de ist er kostenlos, werbefrei und ohne Registrierung nutzbar.

Anleitung

1. Reiter wählen: „Erklären“ zum Nachvollziehen, „Üben“ für Rechenaufgaben, „Untersuchen“ für das Spiel.
2. In „Erklären“ ein Beispiel auswählen oder a bis e selbst eintragen. Mit den Pfeilen durch die acht Schritte blättern, den Regler für die Tangente über den Graphen ziehen.
3. In „Üben“ eine Stufe wählen und die Felder Schritt für Schritt ausfüllen. Mit „Prüfen“ oder der Enter-Taste bestätigen.
4. Über „Eigene Funktion üben“ eine Aufgabe aus dem Buch oder der Arbeit eingeben.
5. In „Untersuchen“ Stufe wählen, Verhalten für große |x| und Symmetrie angeben, den y-Achsenabschnitt eintragen und die Punkte im Graphen setzen. Mit „Prüfen“ auswerten.
6. Optional „Graph verdecken“ aktivieren. Das ist schwerer und gibt doppelte Punkte.
7. Mit „Neue Funktion“ oder „Neue Aufgabe“ weitermachen.